Question

2．已知函数$f（x）=-\frac{4}{3}{x^3}+4{x^2}+12x+a$．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若a=-1，求f（x）在区间[-2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调减区间即可．
（2）求出函数的导数，利用函数的单调性，求解函数的最值即可．

解答 解：（1）f'（x）=-4x²+8x+12=-4（x+1）•（x-3）…（2分）
令f'（x）＜0得  x＜-1或x＞3…（2分）
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）…（1分）
（2）当a=-1，则$f（x）=-\frac{4}{3}{x^3}+4{x^2}+12x-1$…（1分）
由（1）知  f'（x）=-4x²+8x+12=-4（x+1）•（x-3）
令f'（x）=0得x=-1或x=3…（1分）

x	[-2，-1）	-1	（-1，3]
f'（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

…（3分）
∵$f（-2）=\frac{5}{3}$，$f（-1）=-\frac{23}{3}$，f（3）=35…（1分）
∴f（x）_max=35，$f{（x）_{min}}=-\frac{23}{3}$…（1分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．