Question

8．若不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$＜0对一切x恒成立，则实数m的范围是（　　）

• A． m＞0或m＜-4
• B． -4＜m＜0
• C． -4＜m≤0
• D． 0＜m＜4

Answer 1

分析 由不等式转化为mx²-mx-1＜0对任意实数x恒成立，对系数m分类讨论，当m=0时恒成立，当m≠0时，利用二次函数的性质，列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围．

解答 解：因为x²-8x+20=（x-4）²+4≥4，不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$＜0对一切x恒成立，
即不等式mx²-mx-1＜0对任意实数x恒成立，
①当m=0时，-1＜0对任意实数x恒成立，
∴m=0符合题意；
②当m≠0时，则有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，
解得∴-4＜m＜0，
∴实数m的取值范围为-4＜m＜0．
综合①②可得，实数m的取值范围为-4＜m≤0．
故选：C．

点评 本题考查了函数的恒成立问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题解题的关键是运用二次函数的性质进行求解，要注意对系数的讨论，运用了分类讨论的数学思想方法．属于中档题．