Question

己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当x₁，x₂是定义域中的数时，有f（x₁-x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）试证明函数f（x）是奇函数．
（2）试证明f（x）在（0，4a）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，考察f（-x）=-f（x）在定义域内恒成立，则为奇函数；
（2）利用增函数的定义，证明对于（0，4a）内任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，x₁，x₂是定义域中的数时，
有f（x₁-x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
且x₁-x₂，-（x₁-x₂）在定义域中，
∴f[-（x₁-x₂）]=f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)•f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）；
∴f[-（x₁-x₂）]=-f（x₁-x₂）
⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜2a，则0＜x₂-x₁＜2a，
∵在（0，2a）上，f（x）＜0，
∴f（x₁），f（x₂），f（x₂-x₁）均小于零，
进而知f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

中，f（x₁）-f（x₂）＜0，
于是f（x₁）＜f（x₂），
∴在（0，2a）上，f（x）是增函数．
又f（a）=f（2a-a）=

f(2a )•f(a)+1

f(a )-f(2a)

，
∵f（a）=-1，∴-1=

f(2a )•f(a)+1

f(a )-f(2a)

，
∴f（2a）=0，设2a＜x＜4a，则0＜x-2a＜2a，
f（x-2a）=

f(x )•f(2a)+1

f(2a )-f(x)

=

1

-f(x)

＜0，于是f（x）＞0，
即在（2a，4a）上，f（x）＞0．
设2a＜x₁＜x₂＜4a，则0＜x₂-x₁＜2a，
从而知f（x₁），f（x₂）均大于零，f（x₂-x₁）＜0，
∵f（x₂-x₁）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x1)-f(x2)

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即
f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数．
综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的判断、函数单调性的判断与证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．