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    己知函数f(x)=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象点的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P是M，N的中点．
    （1）求证：y1+y2的定值；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )(n∈N*，n≥2)    ，an=
    1
    6
    ，n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    (n∈N*)    ，Tn为数列{an}前n项和，当Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立时，试求实数m的取值范围．
    （3）在（2）的条件下，设bn=
    1
    4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
    ，Bn为数列{bn}前n项和，证明：Bn＜
    17
    52
    ．
    分析：（1）由已知得，x1+x2=1，由对数的计算公式代入可求结果；（2）由y1+y2=f（x1）+f（x2）=1可知，只需用倒序相加法的方式即可求得Sn，进而可得an，Tn，下面由恒成立问题的求法可得；（3）由前面的解答可得Sn+1=
    n
    2
    ，Sn+2=
    n+1
    2
    ，代入可得bn，由不等式的放缩法和裂项相消法可证．
    解答：解：（1）由已知得，x1+x2=1
    ∴y1+y2=log3
    		3
    x1
    1-x1
    +log3
    		3
    x2
    1-x2
    =log3
    		3
    x1
    1-x1
    •
    		3
    x2
    1-x2

    =log3
    3x1x2
    1-(x1+x2)+x1x2
    =1
    （2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1
    Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )       ①
    Sn=f(
    n-1
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )+…+f(
    1
    n
    )       ②
    ①+②得Sn=
    n-1
    2
    ，
    当n≥2时，an=
    1
    4×
    n+1
    2
    n+2
    2
    =
    1
    n+1
    -
    1
    n+2

    又当n=1时，a1=
    1
    6
    也适合上式，故an=
    1
    n+1
    -
    1
    n+2

    故Tn=(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+(
    1
    3
    -
    1
    4
    )+…+(
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    )    =
    n
    2(n+2)

    ∵Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立
    即m＞
    Tn
    Sn+1+1
    =
    n
    (n+2)2
    恒成立，
    又
    n
    (n+2)2
    =
    1
    n+
    4
    n
    +4
    ≤
    1
    8
    ，
    所以实数m的取值范围为：（
    1
    8
    ，+∞）
    （3）因为Sn+1=
    n
    2
    ，Sn+2=
    n+1
    2
    ，
    所以bn=
    1
    4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
    =
    1
    (n+2)(n+3)+1
    ＜
    1
    n+2
    -
    1
    n+3

    故Bn=b1+(
    1
    4
    -
    1
    5
    )+(
    1
    5
    -
    1
    6
    )+…+(
    1
    n+2
    -
    1
    n+3
    )
    =
    1
    13
    +
    1
    4
    -
    1
    n+3
    ＜
    17
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    点评：本题为数列的综合应用，涉及函数与不等式的内容，其中列项求和及不等式的放缩法是解决问题的关键，属中档题．
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