Question

己知函数f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f^′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；
（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函数在区间（-∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．
∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．
故f（x）的极小值和极大值分别为0，．
（II）设切点为（），
则切线方程为y-=（x-x），
令y=0，解得x==，
因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x＜0或x＞2，
令，
则=．
①当x＜0时，0，即f^′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，∴f（x）＜f（0）=0；
②当x＞2时，令f^′（x）=0，解得．
当时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故当时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且=．
综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪．
点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．