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己知函数f(x)=x2e-x
(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;
(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
(Ⅰ)∵f(x)=x2e-x,∴f′(x)=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),
令f′(x)=0,解得x=0或x=2,
令f′(x)>0,可解得0<x<2;令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,
故函数在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.
∴x=0是极小值点,x=2极大值点,又f(0)=0,f(2)=
4
e2

故f(x)的极小值和极大值分别为0,
4
e2

(II)设切点为(x0x02e-x0),
则切线方程为y-x02e-x0=e-x0(2x0-x02)(x-x0),
令y=0,解得x=
x02-x0
x0-2
=(x0-2)+
2
x0-2
+3

因为曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数,∴e-x02x0-
x20
)
<0,∴x0<0或x0>2,
f(x0)=x0+
2
x0-2
+1

f(x0)=1-
2
(x0-2)2
=
(x0-2)2-2
(x0-2)2

①当x0<0时,(x0-2)2-2>0,即f(x0)>0,∴f(x0)在(-∞,0)上单调递增,∴f(x0)<f(0)=0;
②当x0>2时,令f(x0)=0,解得x0=2+
2

x0>2+
2
时,f(x0)>0,函数f(x0)单调递增;当2<x0<2+
2
时,f(x0)<0,函数f(x0)单调递减.
故当x0=2+
2
时,函数f(x0)取得极小值,也即最小值,且f(2+
2
)
=3+2
2

综上可知:切线l在x轴上截距的取值范围是(-∞,0)∪[2
2
+3,+∞)
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3
4
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1
4
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5
13
,x∈[
π
2
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