Question

己知函数f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象点的两点，横坐标为

1

2

的点P是M，N的中点．
（1）求证：y₁+y₂的定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N*，n≥2)，求Sn；
（3）设an=

1

4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1

，T_n为数列{a_n}前n项和，证明：Tn＜

17

52

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，x₁+x₂=1，代入利用对数的运算性质即可求解
（2）由（1）可得，f（x₁）+f（x₂）=1，利用倒序求和即可求解
（3）由an=

1

4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1

=

1

(n+2)(n+3)+1

＜

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，利用裂项求和即可证明

解答：解：（1）由已知可得，x₁+x₂=1
∴y₁+y₂=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1
（2）由（1）可得，f（x₁）+f（x₂）=1
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)
∴2S_n=

n-1

2

×2
∴Sn=

n-1

2

（3）∵an=

1

4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1

=

1

(n+2)(n+3)+1

＜

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

∴Tn=a1+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+2

-

1

n+3

＜

1

13

+

1

4

-

1

n+3

＜

17

52

点评：本题主要考查了倒序相加求和方法、裂项求和方法的简单应用，解题的关键是灵活利用函数关系