Question

（2012•厦门模拟）已知函数f（x）=Asin（2x+θ），其中A≠0，θ∈(0，

π

2

)，试分别解答下列两小题．
（I）若函数f（x）的图象过点E(-

π

12

，1)，F(

π

6

，

3

)，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）如图，点M，N分别是函数y=f（x）的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P（t，

3 π

8

）满足

PN

•

MN

=

π 2

16

，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）的图象过点E(-

π

12

，1)，F(

π

6

，

3

)，建立方程，可求θ的值，利用f(

π

6

)=

3

，可求A的值，从而可得函数解析式；
（Ⅱ）利用

PN

•

MN

=

π 2

16

，可求|NC|=

π

8

，从而|MC|=|MN|-|NC|=

3π

8

，由此可得θ+2t=

3π

4

，利用P（t，

3 π

8

）在图象上，即可求得函数f（x）的最大值．

解答：解：（I）∵函数f（x）的图象过点E(-

π

12

，1)，F(

π

6

，

3

)，
∴Asin（-

π

6

+θ）=1，Asin（

π

3

+θ）=

3

，
∴sin（

π

3

+θ）=

3

sin（-

π

6

+θ），
展开化简可得

3

cosθ=sinθ
∴tanθ=

3

∵θ∈(0，

π

2

)，∴θ=

π

3

∴函数f（x）=Asin（2x+

π

3

），
∵f(

π

6

)=

3

，∴A=2
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）设P在x轴上的射影为C，∵

PN

•

MN

=|

PN

||

MN

|cos∠PNM=

π

2

|NC|=

π2

16

∴|NC|=

π

8

∴|MC|=|MN|-|NC|=

3π

8

∴2[t-（-

θ

2

）]-

π

8

=

3π

8

∴θ+2t=

3π

4

∵P（t，

3 π

8

）在图象上
∴Asin（θ+2t）=

3 π

8

∴A=

6 π

8

∴函数f（x）的最大值为

6 π

8

点评：本题考查三角函数的解析式，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．