Question

4．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞1\\（a-2）x-1，x≤1\end{array}$在（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （1，3]
• D． （2，3]

Answer 1

分析 根据函数在（-∞，+∞）上单调递增，可知log_ax在（1，+∞）是递增区间．即可得a＞1；（a-2）x-1在（-∞，1]也是递增区间，a-2＞0，由log_ax的最小值大于等于（a-2）x-1的最大值，即可求得a的取值范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞1\\（a-2）x-1，x≤1\end{array}$在（-∞，+∞）上单调递增，
可知log_ax在（1，+∞）是递增区间．即a＞1，
可知（a-2）x-1在（-∞，1]也是递增区间，即a-2＞0，解得：a＞2．
由log_ax的最小值大于等于（a-2）x-1的最大值：
可得：log_a1≥（a-2）×1-1，
解得：a≤3
所以a的取值范围是（2，3]
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的单调性的运用求解参数的问题．属于中档题．