Question

【题目】设函数（）.

（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）求函数的极值点；

（3）令， ，设， ， 是曲线上相异三点，其中.求证： .

Answer 1

【答案】（1）实数的取值范围是

（2）时， 有唯一极小值点，

时， 有一个极大值点和一个极小值点；

时， 无极值点.

（3）证明见解析

【解析】试题分析：（1）利用导数转化为： 或在上恒成立.再根据变量分离转化为对应函数最值： 最大值或最小值，即得.（2）实质为讨论一元二次方程解的情况：当时，方程无解，函数无极值点； 时，方程有一解,函数有一个极值点； 时，方程有两解,函数有两个极值点；（3）借助第三量进行论证，先证，代入化简可得，构造函数，其中（），利用导数易得在上单调递增，即，即有，同理可证，

试题解析：解：（1），

函数在定义域上是单调函数， 或在上恒成立.

若恒成立，得.

若恒成立，即恒成立.

在上没有最小值， 不存在实数使恒成立.

综上所述，实数的取值范围是.

（2）由（1）知当时，函数无极值点.

当时， 有两个不同解， ， ，

时， ， ，即， ，

时， 在上递减，在上递增， 有唯一极小值点；

当时， .

， ， 在上递增，在递减，在递增，

有一个极大值点和一个极小值点.

综上所述， 时， 有唯一极小值点，

时， 有一个极大值点和一个极小值点；

时， 无极值点.

（3）先证： ，即证，

即证 ，

令（），， ，

所以在上单调递增，即，即有，所以获证.

同理可证： ，

所以.