Question

15．点P为棱长是$2\sqrt{5}$的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O球面上的动点，点M为B₁C₁的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． 4π
• D． $2\sqrt{5}π$

Answer 1

分析 首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长．

解答 解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=$\sqrt{5}$，
由题意，取BB₁的中点N，连接CN，则CN⊥BM，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴CN为DP在平面B₁C₁CB中的射影，
∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2$\sqrt{5}$，
∴O到过D，C，N的平面的距离为1，
∴截面圆的半径为：$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴点P的轨迹周长为：2π×2=4π．
故选：C．

点评 本题考查了正方体的性质、内切球的性质、线面位置关系与距离、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．