Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-1，x＞0}\\{{x}^{2}+1，x≤0}\end{array}\right.$，若存在x₁∈（0，+∞），x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）=f（x₂），则x₁的最小值为log₃2．

Answer 1

分析 由题意，分别确定f（x₁）和f（x₂）的图象以及单调性，求出f（x₂）的取值范围即为f（x₁）的可能取值，求出使之成立的x₁并取最小值即可．

解答 解：由题意，
因为f（x₂）=x₂²+1≥1，
又因为f（x₁）=${3}^{{x}_{1}}-1$为增函数，
所以使得f（x₁）=f（x₂）即f（x₁）≥1，
所以${3}^{{x}_{1}}-1$≥1，
所以${3}^{{x}_{1}}$≥2，所以x₁≥log₃2，
故答案为：log₃2．

点评 本题难度属于中等难度，难点在于x₁与x₂可以是其取值范围内的任意值，