Question

2．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x与抛物线y=$\frac{1}{8}$x²-4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．

Answer 1

分析 把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．

解答 解：直线y=$\frac{1}{2}$x与抛物线y=$\frac{1}{8}$x²-4联立，得到A（-4，-2），B（8，4），
从而AB的中点为M（2，1），
由k_AB═$\frac{1}{2}$，直线AB的垂直平分线方程y-1=-2（x-2）．
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，$\frac{1}{8}$x²-4）．
∵点P到直线OQ的距离d=$\frac{|x+\frac{1}{8}{x}^{2}-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{8\sqrt{2}}$|x²+8x-32|，|OQ|=5$\sqrt{2}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|OQ|d=$\frac{5}{16}$|x²+8x-32|，|
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，
∴-4≤x＜4$\sqrt{3}$-4或4$\sqrt{3}$-4＜x≤8．
∵函数y=x²+8x-32在区间[-4，8]上单调递增，
∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．
故答案为：30．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．