Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，其中${a_{k_1}}$，${a_{k_2}}$，…，${a_{k_n}}$恰为等比数列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+…+k_n．

Answer 1

分析 利用等差数列、等比数列的定义和性质，分别求得${a_{k_n}}$项的通项公式，可得${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$，再利用拆项法进行求和，可得结论．

解答 解：设{a_n}首项为a₁，公差为d，∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，∴a₅²=a₁a₁₇，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d），∴a₁=2d．
设等比数列公比为q，则 q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+4d}{{a}_{1}}$=3，
对${a_{k_n}}$项来说，在等差数列中：${a_{k_n}}={a_1}+（{k_n}-1）d=\frac{{{k_n}+1}}{2}{a_1}$，在等比数列中：${a_{k_n}}={a_1}{q^{n-1}}={a_1}{3^{n-1}}$．
∴${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$，
∴${k_1}+{k_2}+…{k_n}=（2•{3^0}-1）+（2•{3^1}-1）+…+（2•{3^{n-1}}-1）=2（1+3+…+{3^{n-1}}）-n$=3ⁿ-n-1．

点评 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质的综合应用，用拆项法进行求和，属于中档题．