Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$．
（1）试用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{BD}$和$\overrightarrow{AM}$；
（2）证明：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BD}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量的加减的几何意义求出，
（2）根据向量的垂直和向量的数量积的关系即可证明．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a$．    
又∵M为BO中点，
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow a+\frac{1}{4}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\frac{3}{4}\overrightarrow a+\frac{1}{4}\overrightarrow b$．             
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}$
又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1×2×cos60°=1$，${\overrightarrow a^2}=|\overrightarrow a{|^2}=1$．                  
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}=1-1=0$．                                     
即$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BD}$．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．