Question

3．已知函数f（x）=x²-2ax+2a，g（x）=（2-a）x，其中a∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）求关于x的不等式f（x）＞g（x）的解集；
（3）若f（x）-g（x）＞-4对任意的x∈[3，6]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义，可得a的值．
（2）将不等式转化，因式分解，分类讨论，得到解集．
（3）分离参数，将问题转化为恒等式，由基本不等式可以得到取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴a=0．
（2）不等式f（x）＞g（x），
整理得：x²-（2+a）x+2a＞0，
（x-a）（x-2）＞0，
①a＜2时，不等式的解集是{x|x＜a或x＞2}，
②a=2时，不等式的解集是{x|x≠2}，
③a＞2时，不等式的解集是{x|x＞a或x＜2}，
（3）f（x）-g（x）＞-4对任意的x∈[3，6]恒成立，
即x²-（2+a）x+2a＞-4，
分离参数得a＜x-2+$\frac{4}{x-2}$+2，
由函数的单调性得y=x-2+$\frac{4}{x-2}$+2在区间[3，4]是单调递减，在[4，6]上单调递增的，
∴a＜y_min．即a＜6．

点评 本题考查偶函数的定义，转化思想，因式分解，分类讨论，分离参数，以及基本不等式．