Question

13．已知函数f（x）=x²+ax+2．
（Ⅰ）求实数a的值，使函数y=f（x）在区间[-5，5]上为偶函数；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使函数y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（Ⅲ）求f（x）在区间[-5，5]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义进行求解，
（Ⅱ）根据一元二次函数单调区间和对称轴之间的关系进行求解．
（Ⅲ）根据对称轴和单调区间的关系进行讨论求解．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）在区间[-5，5]上为偶函数，
∴对称轴为y轴，即-$\frac{a}{2}$=0，则a=0；
（Ⅱ）∵函数f（x）在区间[-5，5]上为单调函数，
∴$-\frac{a}{2}≤-5$或$-\frac{a}{2}≥5$，
∴a≥10或a≤-10；
所以当a≥10或a≤-10时，函数f（x）在区间[-5，5]上为单调函数；
（Ⅲ）①若$-\frac{a}{2}≤0$，即a≥0，当x=5时，f（x）_max=27+5a，
②若$-\frac{a}{2}＞0$，即a＜0，当x=-5时，f（x）_max=27-5a．
综上所述：若a≥0，当x=5时，f（x）_max=27+5a；
若a＜0，当x=-5时，f（x）_max=27-5a．

点评 本题主要考查一元二次函数奇偶性，单调性和最值性的应用，根据对称轴和单调区间的关系是解决本题的关键．