Question

8．函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（1，\frac{4}{3}）$
• B． $（\frac{2}{3}，1]$
• C． $[\frac{2}{3}，1]$
• D． $[1，\frac{4}{3}]$

Answer 1

分析 由题意可得，当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，g（x）的值域是f（x）的值域的子集，由此列出不等式组，求得m的范围．

解答 解：当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
同理可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，cos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3∈[-$\frac{3m}{2}$+3，-m+3]，
对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3m}{2}+3≥1}\\{-m+3≤2}\end{array}\right.$，求得1≤m≤$\frac{4}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，总存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立的含义，属于难题．