Question

19．已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（1+x）=f（1-x），f（0）=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a∈R，p：当0＜x＜1时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的性质，得到对称轴和c，由此得到函数解析式，
（2）分别得到命题p和q为真命题时a的取值范围，再分别找到p真q假和p假q真时a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+bx+c，且f（1+x）=f（1-x），f（0）=-2．
∴c=-2，函数对称轴是x=1，
∴b=-2，
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-2x-2，
（2）∵命题p：当0＜x＜1时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；
∴a＞x²-4x+1，对0＜x＜1时恒成立，
∴a大于y=x²-4x+1，在0＜x＜1时的最大值，
∴a≥1，
∵命题q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数，
∴函数g（x）=x²-（2+a）x-2的对称轴不在区间[-2，2]里，
∴a≤-6或a≥2，
∵若p或q为真，p且q为假，
∴p和q中一真一假，
①p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{-6＜a＜2}\end{array}\right.$
得：1≤a＜2，
②p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{-6≤a或a≥2}\end{array}\right.$
得：a≤-6，
综上所述：a≤-6或1≤a＜2．

点评 本题考查二次函数的性质，以及命题的运算，需分类讨论．