Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜1}\\{\frac{2}{x-1}，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{k}{{x}^{2}}$（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为7．

Answer 1

分析 易知g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有h（p）＞g（p）．当x＞1时，分离参数求最值，可得k≤7．再证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=$\frac{7}{{x}^{2}}$∈（0，+∞）．当x∈（0，1）时，h（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，结论成立时k的最大值．

解答 解：显然g（x）=$\frac{k}{{x}^{2}}$（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，
于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有f（p）＞g（p）．
当x＞1时，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{k}{{x}^{2}}$，∴k＜$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$，
设t=x-1（t＞0），则$\frac{2{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{2（t+1）^{2}}{t}$=2（t+$\frac{1}{t}$+2）≥8，
∴k＜8
∴k≤7．                                              
下面证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．
当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）?$\frac{7}{{x}^{2}}$-ln（1-x）＞0．
令ψ（x）=$\frac{7}{{x}^{2}}$-ln（1-x）（0＜x＜1），
则ψ′（x）=-$\frac{14}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{1-x}$＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，
于是ψ（x）＞0．
同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=$\frac{7}{{x}^{2}}$∈（0，+∞）．
当x∈（0，1）时，f（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n）．
综上所述，正整数k的最大值为7．
故答案为：7．

点评 本题考查导数的综合运用，考查分离参数方法的运用，考查基本不等式的运用，能力要求高．