Question

16．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点．
（1）若直线l过焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，若F是AB的一个靠近点B的三等分点，且点B的横坐标为1，弦长AB=9时，求抛物线C的方程；
（2）在（1）的条件下，若M是抛物线C上位于曲线AOB（O为坐标原点，不含端点A，B）上的一点，求△ABM的最大面积．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，且点B的横坐标为1，可得A的横坐标，再由抛物线的定义，可得弦长公式，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）求得A，B的坐标和直线AB的方程，当与直线AB平行的直线与抛物线C相切于第一象限的点M时，△ABM的面积取得最大值．求得曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，可得切点M的坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得三角形的面积的最大值．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线l：x=-$\frac{p}{2}$，
设点A（x₀，y₀），$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，且点B的横坐标为1，
则${x_0}=1+3（\frac{p}{2}-1）=\frac{3p}{2}-2$，
由抛物线的定义，得
$|AB|=|AF|+|BF|=1+\frac{p}{2}+{x_0}+\frac{p}{2}=1+\frac{p}{2}+\frac{3p}{2}-2+\frac{p}{2}=\frac{5p}{2}-1=9$，
解得p=4，
所以抛物线C的方程为y²=8x．
（2）由（1）得，焦点F（2，0），${x_0}=\frac{3p}{2}-2=4$．
将x=1代入抛物线C：y²=8x中，得$y=±2\sqrt{2}$，得点$B（1，±2\sqrt{2}）$；
将x=4代入抛物线C：y²=8x中，得$y=±4\sqrt{2}$，得点$A（4，±4\sqrt{2}）$．
①当取点$B（1，-2\sqrt{2}）$时，点$A（4，4\sqrt{2}）$，
此时直线AB的方程为$2\sqrt{2}x-y-4\sqrt{2}=0$．
当与直线AB平行的直线与抛物线C相切于第一象限的点M时，
△ABM的面积取得最大值．
由y²=8x（y＞0），得$y=2\sqrt{2}•\sqrt{x}$，取导数${y^'}=2\sqrt{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{{\sqrt{x}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{x}}}$，
令${y^'}=2\sqrt{2}$，得$x=\frac{1}{4}$．
将$x=\frac{1}{4}$代入抛物线C：y²=8x中，得$y=\sqrt{2}（y＞0）$．
所以当点M的坐标为$（\frac{1}{4}，\sqrt{2}）$时，△ABM的面积取得最大值，
此时点M$（\frac{1}{4}，\sqrt{2}）$到直线$AB：2\sqrt{2}x-y-4\sqrt{2}=0$的距离是
$d=\frac{{|2\sqrt{2}×\frac{1}{4}-\sqrt{2}-4\sqrt{2}|}}{{\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，$|AB|=\sqrt{{{（4\sqrt{2}+2\sqrt{2}）}^2}+{{（4-1）}^2}}=9$，
所以△ABM的最大面积是$S=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×9×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{27\sqrt{2}}}{4}$．
②当取点$B（1，2\sqrt{2}）$时，点$A（4，-4\sqrt{2}）$，
同理，也验证△ABM的最大面积是$S=\frac{{27\sqrt{2}}}{4}$；
综上，△ABM的最大面积是$\frac{{27\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意向量共线的坐标表示和抛物线的定义，以及弦长公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用导数，求得切点坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．