Question

6．（1）已知0＜x＜1，求y=x（x-3x）的最大值；
（2）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值．

Answer 1

分析 （1）由0＜x＜1，可得3-3x＞0，即有y=x（3-3x）=3x（1-x），运用基本不等式的变形：ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，可得最大值；
（2）运用基本不等式计算，即可得到所求xy的最大值．

解答 解：（1）由0＜x＜1，可得3-3x＞0，
即有y=x（3-3x）=3x（1-x）≤3•（$\frac{x+1-x}{2}$）²=$\frac{3}{4}$．
当且仅当x=1-x，即x=$\frac{1}{2}$时，函数y取得最大值$\frac{3}{4}$；
（2）x＞0，y＞0，且5x+7y=20，
可得5x+7y≥2$\sqrt{35xy}$，
即为20≥2$\sqrt{35xy}$，
解得xy≤$\frac{20}{7}$，
当且仅当5x=7y=10，即x=2，y=$\frac{10}{7}$时，xy取得最大值$\frac{20}{7}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．