Question

14．已知命题p：实数x满足$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{2}}}（x+2）＞-3}\\{{x^2}≤2x+15}\end{array}}$，已知命题q：实数x满足（$\frac{1}{2}$）^{（x-2）（x-3a-1）}＞1．
（1）当q为真命题时，不等式的解集记为A，求A；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数以及二次函数的性质解不等式组，求出集合A即可；（2）通过讨论a的范围，求出关于命题q的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可．

解答 解：（1））∵（$\frac{1}{2}$）^{（x-2）（x-3a-1）}＞1．
∴（x-2）（x-3a-1）＜0，
①3a+1＞2即a＞$\frac{1}{3}$时，不等式的解集是：A=（2，3a+1），
②3a+1＜2即a＜$\frac{1}{3}$时，不等式的解集是：A=（3a+1，2），
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{2}}}（x+2）＞-3}\\{{x^2}≤2x+15}\end{array}}$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+2＜8}\\{（x+3）（x-5）≤0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜x≤5，
由（1）得：
①3a+1＞2即a＞$\frac{1}{3}$时，不等式的解集是（2，3a+1），
若p是q的必要不充分条件，
则（2，3a+1）?（-2，5]，
∴3a+1≤5，解得：a≤$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{4}{3}$；
②3a+1＜2即a＜$\frac{1}{3}$时，不等式的解集是（3a+1，2），
若p是q的必要不充分条件，
则（3a+1，2）?（-2，5]，
∴3a+1≥-2，解得：a≥-1，
∴-1≤a＜$\frac{1}{3}$；
综上，a∈[-1，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查充分必要条件以及集合的包含关系，是一道中档题．