Question

9．设函数f（x）=|log₂x|，若0＜a＜1＜b且f（b）=f（a）+1，则a+2b的取值范围为（　　）

• A． [4，+∞）
• B． （4，+∞）
• C． [5，+∞）
• D． （5，+∞）

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，则数形结合可知ab=2，再将所求a+2b化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可

解答 解：画出f（x）=|log₂x|的图象如图：
∵0＜a＜1＜b且f（b）=f（a）+1，
∴|log₂b|=|log₂a|+1，
∴log₂b=-log₂a+1，
∴log₂ba=1，
∴ab=2，
∴y=a+2b=a+$\frac{4}{a}$，（0＜a＜1），
∵y=a+$\frac{4}{a}$在（0，1）上为减函数，
∴y＞1+$\frac{4}{1}$=5，
∴a+2b的取值范围为（5，+∞），
故选：D

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，利用“对勾”函数求函数值域的方法，数形结合的思想方法，转化化归的思想方法，属中档题．