Question

4．已知球面上有四个点A、B、C、D，球心为点O，且点O在CD上，若三棱锥A-BCD体积的最大值为$\frac{8}{3}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 16π
• C． $\frac{16π}{3}$
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 由题意，CD为直径，△ACD的最大面积为$\frac{1}{2}•2R•R$=R²，三棱锥A-BCD体积最大时，BO⊥平面ACD，三棱锥的高为R，利用三棱锥A-BCD体积的最大值为$\frac{8}{3}$，求出R，即可求球O的表面积．

解答 解：由题意，CD为直径，△ACD的最大面积为$\frac{1}{2}•2R•R$=R²，
三棱锥A-BCD体积最大时，BO⊥平面ACD，三棱锥的高为R，
∵三棱锥A-BCD体积的最大值为$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{3}{R}^{2}•R$=$\frac{8}{3}$，
∴R=2，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故选：B．

点评 本题考查球O的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．