Question

15．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t+6\\ y=3-\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（参数t∈R），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ+2\end{array}\right.$（参数θ∈[0，2π））．
①化曲线C的方程为普通方程，并指出它表示的是什么曲线；
②若将曲线C上的各点的纵坐标都压缩为原来的一半，得曲线C′．求曲线C′上的动点P到直线l距离的最大值及对应点P的坐标．

Answer 1

分析 ①根据同角三角函数的关系消去参数θ得出曲线C的普通方程，即可得出曲线类型；
②写出曲线C′的参数方程，即P点坐标，求出直线l的普通方程．利用点到直线的距离公式得出距离d关于参数θ的函数，利用三角恒等变换及θ的范围得出d的最大值及P点坐标．

解答 解：①曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4，
曲线C表示圆心为（0，2），半径为2的圆．
②曲线C′的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ+1}\end{array}\right.$，∴P（2cosθ，sinθ+1），
直线l的普通方程为x+2y-12=0．
∴P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+2sinθ+2-12|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-10|}{\sqrt{5}}$．
∴当sin（$θ+\frac{π}{4}$）=-1即θ=$\frac{5π}{4}$时，d取得最大值$\frac{2\sqrt{2}+10}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}+2\sqrt{5}$．
此时，P点坐标为（-$\sqrt{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式及三角恒等变换，属于中档题．