Question

6．已知三梭锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． 32π
• C． 64π
• D． 128π

Answer 1

分析 根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．

解答 解：在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，
所以cosA=$\frac{{（2\sqrt{3}）}^{2}×2{-6}^{2}}{2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以△ABC的外接圆半径r=$\frac{1}{2}$×$\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以三棱锥外接球的半径R²=r²+${（\frac{PA}{2}）}^{2}$=${（2\sqrt{3}）}^{2}$+2²=16，
所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=64π．
故选：C．

点评 本题考查了三棱锥的外接球体积与计算能力的应用问题，确定三棱锥的外接球半径是解题的关键．