Question

20．设函数f（x）是定义在R上的奇函数且对任意x∈R有f（x）=f（x+4），当x∈（-2，0）时f（x）=2^x，则f（2016）-f（2015）的值为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由奇函数的性质求出f（0）=0，由等式和周期函数的定义求出函数的周期，利用周期性和解析式求出f（2016）、f（2015）的值，代入式子f（2016）-f（2015）求解．

解答 解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，
由对任意x∈R有f（x）=f（x+4）得，函数的周期是4，
∵当x∈（-2，0）时f（x）=2^x，
∴f（2016）=f（4×504+0）=f（0）=0，
f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，
∴f（2016）-f（2015）=0-$\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．