Question

19．已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧棱与底面所成的角是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $arcsin\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $arcsin\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$

Answer 1

分析 由三视图画出对应直观图，根据正三棱锥的结构特征判断出顶点V在底面上的射影，由图象和正三角形的特征求出侧棱在底面上的射影，根据线面成角的定义判断出侧棱与底面所成的角，由余弦函数求出此角的余弦值，由特殊角的三角函数值求出此角的大小．

解答 解：由三视图画出直观图如图所示：
O是顶点V在底面的射影，且O是正三角形ABC的中心，D是BC的中点，
由三视图可得，侧棱VA=4，AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴底面△ABC外接圆的半径OA=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{2}{3}×\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2
∴侧棱在底面上的射影A0=2，
由线面成角的定义可知该正三棱锥侧棱与底面所成的角是∠VAO，
∴$cos∠VAO=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，则三棱锥侧棱与底面所成的角为$\frac{π}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查正三棱锥的三视图、结构特征的应用，线面成角的定义，正确画出直观图是解题的关键，考查空间想象能力和数形结合思想．