Question

8．如图所示是外框为圆形的一种图标．已知圆的半径为60mm，A，B，C，D是圆周的四等分点，圆内框架总长是360mm，设计要求是：矩形EFGH的周长与面积的比值最小．试问矩形EFGH的长与宽各是多少mm时符合设计要求．此时的比值是多少？

Answer 1

分析 设矩形EFGH的长为xmm，宽为ymm，可得周长为2（x+y），面积为xy，由题意可得x+y=60，运用基本不等式可得xy的最大值，进而得到所求最小值及x，y的值．

解答 解：设矩形EFGH的长为xmm，宽为ymm，
周长为2（x+y），面积为xy，
由题意可得2（x+y）=360-4×60=120，
即x+y=60，
则矩形EFGH的周长与面积的比值为$\frac{2（x+y）}{xy}$=$\frac{120}{xy}$，
由xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=900，
可得$\frac{120}{xy}$≥$\frac{120}{900}$=$\frac{2}{15}$．
当且仅当x=y=30时，比值最小，且为$\frac{2}{15}$．
即有矩形EFGH的长与宽均为30mm时符合设计要求．
此时的比值是$\frac{2}{15}$．

点评 本题考查数学模型的应用题的解法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题．