Question

17．已知球内接圆锥的侧面积为9$\sqrt{10}$π，体积为27π，则该球的体积为（　　）

• A． $\frac{500π}{3}$
• B． 500π
• C． 100π
• D． $\frac{125π}{3}$

Answer 1

分析 利用球内接圆锥的侧面积为9$\sqrt{10}$π，体积为27π，求出球内接圆锥的底面半径，高，利用射影定理求出R，即可求出球的体积．

解答 解：设球内接圆锥的底面半径为r，高为h，则
∵球内接圆锥的侧面积为9$\sqrt{10}$π，体积为27π，
∴$πr•\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}$=9$\sqrt{10}$π，$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=27π，
∴r=3，h=9，∴母线为3$\sqrt{10}$
设球的半径为R，则由射影定理可得（3$\sqrt{10}$）²=9（2R-9），∴R=5，
∴该球的体积为$\frac{4}{3}π•{5}^{3}$=$\frac{500π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查球的体积，考查圆锥的侧面积、体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．