Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=2，2S_n=（n+1）a_n-n²a_n+1，数列{b_n}满足b₁=1，b_nb_n+1=λ•2^a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得{b_n}为等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据递推公式，得到2a_n=a_n+1+a_n-1，继而得到数列{a_n}为等差数列，求出公差d，即可求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）根据递推公式，得到b_n+2=4b_n，求出b₂，b₃，若{b_n}为等比数列，则满足（b₂）²=b₃•b₁，继而求出正实数λ．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1，得到2S_n-1=n²a_n-1-（n-1）²a_n，
∴2a_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1-n²a_n-1+（n-1）²a_n，
∴2a_n=a_n+1+a_n-1，
∴数列{a_n}为等差数列，
∵2S₁=（1+1）²a₁-a₂，
∴4=8-a₂，
∴a₂=4，
∴d=a₂-a₁=4-2=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
（Ⅱ）由题设，${b_n}{b_{n+1}}=λ•{2^{a_n}}，{b_{n+1}}{b_{n+2}}=λ•{2^{{a_{n+1}}}}$，
两式相除可得b_n+2=4b_n，
即{b_2n}和{b_2n-1}都是以4为公比的等比数列．
因为${b_1}b{\;}_2=λ•{2^{a_1}}=4λ，b{\;}_1=1$，
所以b₂=4λ，由b₃=4b₁=4及${b_2}^2={b_1}{b_3}$，可得4λ²=1，
又λ＞0，所以$λ=\frac{1}{2}$．
所以${b_{2n}}=2•{4^{n-1}}={2^{2n-1}}，{b_{2n-1}}={2^{2n-2}}$，
即${b_n}={2^{n-1}}$，则b_n+1=2b_n，
因此存在$λ=\frac{1}{2}$，使得数列{b_n}为等比数列．

点评 本题考查了数列的递推公式和等差数列等比数列的性质，属于中档题．