Question

16．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥平面ABCD，∠APD=120°，AB=PA=PD=2，则该四棱锥P-ABCD的外接球的体积为$\frac{20\sqrt{5}}{3}π$．

Answer 1

分析 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=$\frac{1}{2}BD$=2，设O到平面ABCD的距离为d，则R²=d²+2²=2²+（1-d）²，求出R，即可求出四棱锥P-ABCD的外接球的体积．

解答 解：取AD的中点E，连接PE，
△PAD中，∠APD=120°，PA=PD=2，∴PE=1，AD=2$\sqrt{3}$，
设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=$\frac{1}{2}BD$=2，
设O到平面ABCD的距离为d，则R²=d²+2²=2²+（1-d）²，∴d=1，R=$\sqrt{5}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{20\sqrt{5}}{3}π$．
故答案为：$\frac{20\sqrt{5}}{3}π$．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．