Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，E在AC上，若BE⊥AC，则ED的长=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 在矩形ABCD中由条件和正切函数求出tan∠BAC，由特殊角的三角函数值求出∠BAC，由BE⊥AC求出AE，再求出CE，根据图象和余弦定理求出ED的长．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，则∠BAC=$\frac{π}{3}$，且AC=2$\sqrt{3}$，
又BE⊥AC，在RT△ABE中，AE=AB•cos $\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=AC-AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ACD=∠BAC=$\frac{π}{3}$，CD=AB=$\sqrt{3}$，
在△DCE中，由余弦定理得ED²=CE²+CD²-2CE•CDcos∠DCE=$\frac{27}{4}+3-2×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{21}{4}$，
∴ED=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理，直角三角形中三角函数的应用，属于中档题．