Question

16．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+1），且当x∈（-1，0）时，f（x）=2^x-$\frac{1}{2}$，则f（log₂20）=（　　）

• A． -$\frac{7}{18}$
• B． -$\frac{39}{2}$
• C． -$\frac{3}{10}$
• D． $\frac{39}{2}$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和条件求出函数的周期性，利用函数的奇偶性和周期性的性质结合对数的运算法则进行化简求解即可．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=-f（x+1），
∴f（x+1）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
则函数f（x）是周期为2的周期函数，
则∵4＜log₂20＜5，
∴0＜log₂20-4＜1，
∵当x∈（-1，0）时，f（x）=2^x-$\frac{1}{2}$，
∴当x∈（0，1）时，
-x∈（-1，0），
则f（-x）=2^-x-$\frac{1}{2}$=-f（x），
即f（x）=-2^-x+$\frac{1}{2}$，x∈（0，1），
则f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂$\frac{20}{16}$）=f（log₂$\frac{5}{4}$）=-${2}^{-lo{g}_{2}\frac{5}{4}}$+$\frac{1}{2}$=-${2}^{lo{g}_{2}\frac{4}{5}}$+$\frac{1}{2}$=$-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{10}$，
故选：C

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．