Question

7．已知命题p：?x∈[1，2]，x²-a²≥0．命题q：?x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：?x∈[1，2]，x²-a²≥0，可得a²≤（x²）_min．命题q：?x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．可得△＞0．由p或q为真，p且q为假，p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：?x∈[1，2]，x²-a²≥0，∴a²≤（x²）_min=1，解得-1≤a≤1．
命题q：?x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．∴△=（a-1）²-4＞0，解得a＞3或a＜-1．
∵p或q为真，p且q为假，p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{-1≤a≤3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞1}\\{a＞3或a＜-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤1，或a＜-1，或a＞3．
∴实数a的取值范围是（-∞，1]∪（3，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．