Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ+m（m为常数，n∈N+）
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）若数列{a_n}为等比数列，求常数m的值及a_n；
（3）对于（2）中的a_n，记f（n）=λa_2n+1-4λa_n+1-7，若f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a₁，a₂，a₃．
（2）由a₁=a+2，当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$，{a_n}为等比数列，求出a₁=1，由此能求出常数m的值及a_n．
（3）由${a_n}={2^{n-1}}$，得f（n）=λ•2²ⁿ-4λ•2ⁿ-7，令t=2ⁿ，则t≥2，f（n）=λ•t²-4λ•t-7=λ（t-2）²-4λ-7，设g（t）=λ（t-2）²-4λ-7，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 （本小题10分）
解：（1）a₁=S₁=2+m，…（1分）
由S₂=a₁+a₂，得a₂=2，…（2分）
由S₃=a₁+a₂+a₃，得a₃=4；  …（3分）
（2）∵a₁=a+2，当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$，
又{a_n}为等比数列，∴a₁=1，
即m+2=1，得m=-1，…（5分）
故${a_n}={2^{n-1}}$． …（6分）
（3）∵${a_n}={2^{n-1}}$，∴f（n）=λ•2²ⁿ-4λ•2ⁿ-7，…（7分）
令t=2ⁿ，则t≥2，f（n）=λ•t²-4λ•t-7=λ（t-2）²-4λ-7，
设g（t）=λ（t-2）²-4λ-7，
当λ=0时，f（n）=-7＜0恒成立，…（8分）
当λ＞0时，g（t）=λ（t-2）²-4λ-7对应的点在开口向上的抛物线上，
∴f（n）＜0不可能恒成立，…（9分）
当λ＜0时，g（t）=λ（t-2）²-4λ-7在t≥2时有最大值-4λ-7，
∴要使f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，
只需-4λ-7＜0，即$λ＞-\frac{7}{4}$，此时$-\frac{7}{4}＜λ＜0$，
综上实数λ的取值范围为$-\frac{7}{4}＜λ≤0$．　  …（10分）

点评 本题考查数列的前3项的求法，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．