Question

20．已知函数f（x）=x³-3x+1
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0得x=±1，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，-1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）上 递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上递增，
当x=-1时取到极大值是f（-1）=3，当x=1取到极小值f（1）=-1．…（4分）
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-3得，f′（0）=-3，
∵f（0）=1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y-1=-3x
即3x+y-1=0．…（8分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及导数几何意义的应用，属于基础题．