Question

15．已知三棱锥A-BCD中，AB⊥平面ACD，AC=AD=2，AB=4，CD=2$\sqrt{2}$，则三棱锥A-BCD外接球的表面积与内切球表面积的比为 （　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 8
• C． 24
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 证明AC⊥AD，AB⊥AC，AB⊥AD，将三棱锥A-BCD扩展为长方体，长宽高分别为2，2，4，其对角线为三棱锥A-BCD外接球的直径，可得三棱锥A-BCD外接球的半径，利用等体积求出三棱锥A-BCD内切球半径，即可求出三棱锥A-BCD外接球的表面积与内切球表面积的比．

解答 解：∵AC=AD=2，CD=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+AD²=CD²，
∴AC⊥AD，
∵AB⊥平面ACD，
∴AB⊥AC，AB⊥AD，
将三棱锥A-BCD扩展为长方体，长宽高分别为2，2，4，其对角线为$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，
∴三棱锥A-BCD外接球的直径为2$\sqrt{6}$，半径为$\sqrt{6}$，
设三棱锥A-BCD外接球的内切球半径为r，则
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{1}{3}×（2×\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{20-2}）$r，
∴r=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥A-BCD外接球的表面积与内切球表面积的比为$（\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{2}}）^{2}$=24．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥A-BCD外接球的表面积与内切球表面积的比，考查学生的计算能力，正确求三棱锥A-BCD外接球与内切球的半径是关键．