Question

6．（1）若关于x的不等式-$\frac{1}{2}{x^2}$+2x＞mx的解集为（0，2），求m的值．
（2）在△ABC中，sinA=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{3}{5}$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）将2代入方程-$\frac{1}{2}{x^2}$+2x=mx，求出m的值即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出sinB 的值，而由sinA=$\frac{5}{13}$＜sinB，可得 A＜B，故A为锐角，从而求得cosA 的值，再由cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB 求出结果．

解答 解：（1）若关于x的不等式-$\frac{1}{2}{x^2}$+2x＞mx的解集为（0，2），
则0，2是-$\frac{1}{2}{x^2}$+2x=mx的解，
故-$\frac{1}{2}$×2²+2×2=2m，解得：m=1，
所以：m=1，
（2）在△ABC中，由cosB=$\frac{3}{5}$可得，sinB=$\frac{4}{5}$．而sinA=$\frac{5}{13}$＜sinB，
由正弦定理可得a＜b，∴A＜B，
所以A为锐角，cosA=$\sqrt{1{-sin}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，
于是cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．