Question

14．将一个周长为18的矩形，以一边为侧棱，折成一个正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），当这个正三棱柱的体积最大时，它的外接球的半径为$\frac{\sqrt{129}}{6}$．

Answer 1

分析 正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，表示正三棱柱的体积，利用基本不等式求最值，能求出正三棱柱的外接球的半径．

解答 解：设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，
正三棱柱的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}y$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}（3-x）$
=3$\sqrt{3}$$•\frac{1}{2}x•\frac{1}{2}x•（3-x）$
≤3$\sqrt{3}$•（$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+3-x}{3}$）³=3$\sqrt{3}$，
当且仅当x=2时，等号成立，此时y=3，
可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，
则半径为r=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{43}{12}}$=$\frac{\sqrt{129}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{129}}{6}$．

点评 本题考查外接球的半径的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审，注意基本不等式的合理运用．