Question

2．正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{8π}{3}$
• D． 3π

Answer 1

分析 将四面体ABCD放置于正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出AB，即可算出截面面积的最小值．

解答 解：由题意，面积最小的截面是以AB为直径的截面，
将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
设AB=a，则$\sqrt{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}a$=4，可求得AB=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
进而截面面积的最小值为$π•（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}$=$\frac{8π}{3}$．
故选：C．

点评 球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度．