Question

9．已知三棱柱ABC一A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为2$\sqrt{6}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的体积等于（　　）

• A． 36π
• B． 72π
• C． 144π
• D． 288π

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形求出三棱柱的高，判断底面△ABC是直角三角形；连接上下底面中心，得出外接球的球心与半径，根据三角形的边角关系求出球的半径与表面积．

解答 解：根据题意，三棱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
其体积为$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin∠BAC•AA₁=$\frac{1}{2}$×2×1×sin60°×AA₁=2$\sqrt{6}$，
AA₁=4$\sqrt{2}$，
所以BC=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
所以△ABC是直角三角形；
如图所示，
连接上下底面中心P、Q，O为PQ的中点，
则OP⊥平面ABC，球的半径为OA，
由题意OP=2$\sqrt{2}$，AP=$\frac{1}{2}$AB=1，∴OA=3，
所以球的表面积为：4πR²=4π×3²=36π．
故选：A．

点评 本题考查了球的表面积与球的内接体问题，也考查了空间想象能力理解能力的应用问题，是综合性题目．