Question

19．经过点P（$\frac{1}{2}$，0）且与双曲线4x²-y²=1只有一个交点的直线有3条．

Answer 1

分析 分别讨论过P的直线的斜率是否存在，利用代入法转化为一元二次方程进行判断即可．

解答 解：双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-y²=1，
若过P的直线斜率k不存在，此时直线方程为x=$\frac{1}{2}$与双曲线有一个交点，满足条件．
若斜率k存在，则直线方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），
代入4x²-y²=1得4x²-k²（x-$\frac{1}{2}$）²=1，
整理得（4-k²）x²+k²x-$\frac{{k}^{2}}{4}$-1=0，
若4-k²=0，得k=2或k=-2，此时方程等价为4x-2=0，x=$\frac{1}{2}$，满足直线和双曲线只有一个交点，
若4-k²≠0，即k≠±2，若方程只有一个解，则判别式△=k⁴+4（4-k²）（1+$\frac{{k}^{2}}{4}$）=0，
即k⁴+（4-k²）（4+k²）=0，
即k⁴+16-k⁴=0，即16=0，此时方程不成立，
综上满足条件的直线有3条，
故答案为：3．

点评 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行以及直线斜率不存在的情况．