Question

8．已知f（x）=x²-a|x-1|+b（a＞0，b＞-1）．
（1）若b=0，a＞2，求f（x）在区间[0，2]内的最小值m（a）；
（2）若f（x）在区间[0，2]内不同的零点恰有两个，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定f（x）的解析式，分段去掉绝对值，再求最小值．（2）分别讨论f（x）在[0，1]和[1，2]上的零点个数．

解答 解：（1）由题知f（x）=x²-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a，1≤x≤2}\\{{x}^{2}+ax-a，0≤x＜1}\end{array}\right.$，
当0≤x＜1时，二次函数的轴为$x=-\frac{a}{2}$＜0，此时f（x）在[0，1）上单调递增，
所以f（x）的最小值为m（a）=f（0）=-a；
当1≤x≤2时，二次函数的轴为$x=\frac{a}{2}＞1$，
①当$\frac{a}{2}＞2$即a＞4时，f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）的最小值为m（a）=f（2）=4-a；
②当$\frac{a}{2}≤2$即2＜a≤4时，f（x）在$[1，\frac{a}{2}]上单调递减，在[\frac{a}{2}，2]上单调递增$，
所以f（x）的最小值为m（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{4}+a$．
∴当a＞4时，m（a）=-a；当2＜a≤4时，m（a）=min{-a，$-\frac{{a}^{2}}{4}+a$}=-a
综上，m（a）=-a
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a+b，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-ax+a+b，1＜x≤2}\end{array}\right.$，因为f（1）=1+b＞0
①根据函数的单调性，若f（x）=0在（1，2]内没有重根，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-a+b≤0}\\{1+b＞0}\\{4-a+b≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b≤a}\\{b＞-1}\\{b≤a-4}\end{array}\right.$∴a-b≥4
②若f（x）=0在（1，2]内有重根，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（1）＞0}\\{△=0}\\{1＜\frac{a}{2}≤2}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b＞-1}\\{b＜a}\\{b=\frac{{a}^{2}}{4}-a}\\{2＜a≤4}\end{array}\right.$
$由-1＜b=\frac{{a}^{2}}{4}-a＜a，得a≠2，a＜8$
$a-b=a-（\frac{{a}^{2}}{4}-a）=-\frac{{a}^{2}}{4}+2a=-（\frac{a}{2}-2）^{2}+4$∈（3，4]
③当f（x）在[0，1]上没根，在[1，2]上有两个不等根，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≥0}\\{△＞0}\\{1＜\frac{a}{2}≤2}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b-a＞0}\\{b＞-1}\\{a-b≤4}\\{2＜a≤4}\\{{a}^{2}-4（a+b）＞0}\end{array}\right.$
由线性规划


知-3＜a-b≤4
综上，a-b＞-3．

点评 本题考查了分段函数的最值问题，同时考查了二次函数根的分布问题，运用了分类讨论的数学思想，本题属于难题，综合性较强．