Question

17．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=90°，AD⊥BC于D．现将△ACD沿直线AD旋转一周，则在旋转过程中，直线AC与直线BD所成角的取值范围是（60°，90°）．

Answer 1

分析 由题意画出图象，结合条件求出直线AC与直线BD所成角最小值，由线面垂直的判定定理求出直线AC与直线BD所成角最大值，即可得到答案．

解答 解：由题意画出图象：
△ACD沿直线AD旋转一周形成一个圆锥，
底面圆的圆心是D，高是AD，
∵在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=90°，∴∠ACB=60°，
此时直线AC与直线BD所成角最小，
当AC旋转到AE时，即DE⊥BD时，直线AC与直线BD所成角最大，
∵AD⊥圆D所在的平面，∴AD⊥BD，
∵AD∩DE=D，∴BD⊥平面ADE，则BD⊥AE，
∴直线AC与直线BD所成角最大值是90°，
即直线AC与直线BD所成角的范围是（60°，90°），
故答案为：（60°，90°）．

点评 本题考查两直线所成角的取值的求法，线面垂直的判定定理，以及数形结合思想，属于中档题．