Question

1．已知函数$f（x）=\sqrt{2}{sin^2}x-\sqrt{2}sinx•cosx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并用“五点法作图”在给出的直角坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；
（2）设α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$-\frac{1}{2}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式，根据五点法，求出对应的五点，即可得到结论．
（2）法一：由已知可求$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}，cos（α+\frac{π}{4}）=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用两角差的正弦函数公式可求sinα的值；法二：由已知可得$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，进而可求$sinα-cosα=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，联立即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}•\frac{1-cos2x}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos2x=-sin（2x+\frac{π}{4}）$，…（2分）
由$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$知：

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	x1，y1	$\frac{7π}{8}$	π
$2x+\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	-1	0	1	0	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是
                       …（6分）
（2）法一：∵$f（\frac{α}{2}）=-sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}，cos（α+\frac{π}{4}）=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
$sinα=sin（α+\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}?\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}?\sqrt{6}}}{2}$，…（11分）
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∴$sina=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）
法二：∵$f（\frac{α}{2}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosβ=-\frac{1}{2}$，$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，①
∴$1+2sinαcosα=\frac{1}{2}$，
∴$2sinαcosα=-\frac{1}{2}＜0$，…（8分）
∴${（sinα-cosα）^2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
又∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∴cos＜0，
∴$sinα-cosα=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，②…（11分）
由①②得，∴$sina=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，五点作图法，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．