Question

11．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC的中点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．

（Ⅰ）求三棱锥P-ABD的体积．
（Ⅱ）在∠ACB的平分线所在直线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中的三视图，得到棱锥的底面边长和高，代入棱锥体积公式，可得答案；
（Ⅱ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，利用线面平行的判定可知点Q即为所求，证明ACBQ为平行四边形，即可求出PQ的长

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：
三棱锥P-ABD的底面ABC中，AC=BC=4，AC⊥BC，
高PA=4，
故三棱锥P-ABD体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4×4=$\frac{32}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）解：如图取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．   …（7分）

因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，…（8分）
因为PQ?平面ABD，OD?平面ABD，所以PQ∥平面ABD…（10分）
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，PQ=$\sqrt{{AP}^{2}+{AQ}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．   …13 分

点评 本题考查的知识点是棱锥的体积，空间直线与平面的位置关系，棱锥的几何特征，难度中档．