Question

1．给出下列命题：
①函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
②已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|；
③若${log_a}\frac{1}{2}＜1$，则a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$；
其中所有正确命题的序号是②．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象所过定点，可判断①；求出函数的解析式，可判断②；求出满足条件的a的范围，可判断③．

解答 解：当x=1时，函数f（x）=-1恒成立，
故函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，-1），故①错误；
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），
∴当x＞0时，f（x）=x（x-1），
综上可得：f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|；
故②正确；
若${log_a}\frac{1}{2}＜1$，则a∈$（0，\frac{1}{2}）∪（1，+∞）$，故③错误；
故答案为：②

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数解析式等知识点，难度中档．