Question

10．函数f（x）=a$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$（a∈R）．
（Ⅰ）设t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数φ（t）；
（Ⅱ）记f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，进而得φ（t）的解析式．
（Ⅱ）由题意知g（a）即为函数φ（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，分a＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）；

解答 解：（Ⅰ）∵t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[2.4]且t≥0…①，∴t的取值范围是[$\sqrt{2}$，2]．
由①得：$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²-1，
∴φ（t）=a（$\frac{1}{2}$t²-1）+t=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]
（Ⅱ）由题意知φ（t）即为函数φ（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，
∵直线t=-$\frac{1}{a}$是抛物线φ（t）的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
 ①当当a＞0时，函数y=φ（t），t∈[$\sqrt{2}$，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-$\frac{1}{a}$＜0知φ（t）在t∈[$\sqrt{2}，2$]上单调递增，故g（a）=φ（2）=a+2；
 ②当a=0时，知φ（t）=t，t∈[$\sqrt{2}，2$]上，有g（a）=22；
 ③当a＜0时，函数y=φ（t），t∈[$\sqrt{2}$，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（0，$\sqrt{2}$]即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g（a）=φ（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（$\sqrt{2}$，2]即a∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，g（a）=φ（-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{2a}$，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（2，+∞）即a∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，g（a）=φ（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，a＞-\frac{1}{2}}\\{-a-\frac{1}{2a}，-\frac{\sqrt{2}}{2}＜a≤-\frac{1}{2}}\\{\sqrt{2}，a≤-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．